Archi e volte in muratura

Il modulo verifica archi e volte in muratura con l'analisi limite: ne ricava la curva delle pressioni, il moltiplicatore dei carichi verticali che porta al collasso, il coefficiente geometrico di sicurezza e, quando richiesto, la capacità sismica del meccanismo secondo le NTC 2018 e la Circolare 7/2019.

È pensato per le costruzioni esistenti: volte di edifici storici, ponti, cantine, chiese. Non serve a progettare una volta nuova, ma a stabilire se una volta che esiste già regge i carichi che ha e quelli che le si vogliono aggiungere.

Schema della struttura verificata: volta, riempimento, piedritti e catena, con le grandezze che il modulo riceve in input.

A chi risponde

• Questa volta regge il carico che ho in mente? E se non regge, di quanto manca?
• Quanto vale la spinta all'imposta, e il piedritto la sostiene?
• Serve una catena? E se c'è già, che tiro deve avere?
• Sotto sisma, qual è l'accelerazione che attiva il meccanismo, e come si confronta con quella attesa nel sito?

Il metodo

La sicurezza di una struttura in muratura è una questione di geometria, non di resistenza: le tensioni in gioco sono di norma una piccola frazione di quelle di rottura, e quello che manda in crisi un arco è il formarsi di un meccanismo. Il modulo cerca quindi una curva delle pressioni interna al profilo e in equilibrio con i carichi: se la trova, la struttura è sicura.

Che cosa calcola

I profili disponibili a confronto, a parita' di luce e monta. Generata dal motore di calcolo, non disegnata a parte.

Oltre alla verifica della volta, il modulo tratta i piedritti con la sezione parzializzata, la catena con il capochiave, il riempimento come carico e, se dichiarato, come confinamento ai rinfianchi, le strutture adiacenti che compensano la spinta, e la verifica sismica del meccanismo con i parametri del sito ricavati dal reticolo nazionale.

Cinematismo di collasso a quattro cerniere sotto azione orizzontale: il meccanismo di cui si calcola il moltiplicatore.

Che cosa non fa

È la parte che conviene leggere per prima, perché decide se il modulo serve al caso in esame.

• Non calcola la capacità sismica delle cupole: sotto azione orizzontale la cupola perde la simmetria assiale e il meccanismo non è quello di un arco. La verifica statica resta valida.
• Non tratta il caso di carico asimmetrico né il profilo policentrico, che viene ricondotto all'ellittico con un avviso.
• Non verifica la struttura nel suo insieme: una volta non sta in piedi da sola, e il modulo non sa nulla di ciò che la circonda se non quanto gli viene dichiarato.

L'elenco completo delle approssimazioni, con l'effetto di ciascuna dichiarato - cautelativo, non cautelativo o neutro - sta nelle Note di calcolo.

Quanto ci si può fidare

Il modulo produce una stampa di validazione secondo il par. 10.2 delle NTC: ricalcola i casi di riferimento al momento della stampa, con il codice in esercizio, e ne confronta i risultati con i valori attesi. Una stampa che riportasse valori memorizzati non proverebbe nulla sul programma che sta girando.

I riferimenti non hanno tutti lo stesso peso, e la stampa lo dichiara. Due provengono da letteratura esterna: lo spessore minimo dell'arco a tutto sesto di Heyman, l'ottimo dell'arco a sesto acuto, e lo spessore minimo della cupola emisferica, dove il modulo calcola t/R = 0,0448 contro lo 0,0452 di Como. Altri sono forme chiuse ricontrollabili a mano o valori ufficiali di normativa. Altri ancora sono risultati registrati, che rilevano le regressioni ma non dimostrano che il valore sia quello vero.

Validazione dei codici di calcolo

Il par. 10.2 delle NTC chiede che i programmi di calcolo siano validati su casi di riferimento. Il modulo produce una stampa che li ricalcola al momento, con il codice in esercizio, e ne confronta i risultati con i valori attesi: una stampa che riportasse valori memorizzati non proverebbe nulla sul programma che sta girando.

8 casi con riferimento esterno. Ad essi si aggiungono i casi di regressione, che rilevano i cambiamenti involontari ma non dimostrano la correttezza, e che per questo non sono elencati qui.

Bibliografia

I lavori da cui provengono i valori attesi degli esempi e le scelte di modello. L'elenco completo, con i riferimenti di inquadramento e i collegamenti disponibili, sta nella guida.

• J. Heyman, The stone skeleton, International Journal of Solids and Structures 2 (1966) - l'articolo che fonda l'applicazione dell'analisi limite alla muratura.
• J. Heyman, The Masonry Arch, 1982 - spessore minimo dell'arco a tutto sesto, t/R = 0,1075.
• J. Heyman, Equilibrium of shell structures, Oxford, 1977 - spessore minimo della cupola emisferica.
• M. Como, Statics of Historic Masonry Constructions, Springer, 2016 - modello a spicchi della cupola e spessore minimo t/R = 0,0452.
• G. Lengyel, Minimum thickness of the gothic arch, Archive of Applied Mechanics 88 (2018) - ottimo dell'arco a sesto acuto.
• H. Alexakis, N. Makris, Limit equilibrium analysis and the minimum thickness of circular masonry arches to withstand lateral inertial loading, Archive of Applied Mechanics 84 (2014) - coefficiente sismico di collasso dell'arco circolare.
• N. Makris, H. Alexakis, The effect of stereotomy..., Archive of Applied Mechanics 83 (2013) - lo spessore minimo dipende da come si tagliano i conci; il modulo usa giunti radiali.
• G. Poleni, Memorie istoriche della gran cupola del Tempio Vaticano, 1748 - prima applicazione documentata del modello a spicchi.
• S. Huerta, Galileo was wrong: the geometrical design of masonry arches, Nexus Network Journal 8 (2006).

Da dove viene il metodo

L'analisi limite applicata alla muratura si deve a Heyman, a partire da The stone skeleton del 1966. Il modello a spicchi con cui si verifica la cupola è però assai più antico: risale a Poleni, che nel 1748 lo applicò alla cupola di San Pietro corredandolo di uno dei primi rilievi del quadro fessurativo. La guida riporta l'inquadramento teorico e storico, con la bibliografia divisa per argomento.