Guida del modulo di verifica con analisi limite - indice delle sezioni: 1. Impostazione · 2. Geometria · 3. Carichi · 4. Spinta del rinfianco · 5. Modelli di sezione · 6. Risultati · 7. Lettura del disegno · 8. Limiti della versione · 11. Inquadramento teorico e storico · 9. Riferimenti · 10. Esempi e validazione

1. Impostazione del calcolo

Il modulo verifica archi e volte a botte in muratura con l'analisi limite, che le NTC 2018 e la Circolare 7/2019 assumono come procedura per i meccanismi locali. Le ipotesi di base, dovute a Heyman, sono:

• muratura non resistente a trazione;
• scorrimento fra i conci impedito dall'attrito (ipotesi verificata a valle);
• resistenza a compressione molto elevata rispetto alle tensioni in gioco (ipotesi rimovibile scegliendo il modello a blocco tensionale).

Sotto queste ipotesi vale il teorema statico: se esiste anche una sola curva delle pressioni interna al profilo e in equilibrio con i carichi, la struttura è sicura. Il modulo cerca proprio questo, e ne ricava i moltiplicatori dei carichi.

2. Geometria

Tipo di struttura

Prima del profilo si sceglie che cosa si sta verificando. La differenza fra arco e volta sta in pochi parametri, che l'utente non collegherebbe da solo al tipo: cambiando la voce il programma li adegua e dichiara che cosa ha toccato, poi si resta liberi di modificarli.

Il tipo scelto cambia anche la terminologia dei testi e della relazione: "la volta" oppure "l'arco".

Profilo

Il profilo si definisce per tipologia, luce, freccia e spessore, con variazione lineare dello spessore fra imposta e chiave.

I cinque profili, a parita' di luce (4,00 m) e spessore (0,40 m). Le figure di questa guida sono generate dallo stesso motore che esegue i calcoli: se il motore cambia, cambiano con lui.

Il numero di conci governa la discretizzazione. Il valore di default (40) è adeguato per l'uso corrente; per un confronto accurato con valori di letteratura conviene salire a 200 o più. Deve essere pari, perché serve un giunto in chiave.

La larghezza della fascia è la striscia di volta a botte analizzata, normalmente 1,00 m. Per l'arco isolato va invece assegnata pari alla larghezza reale dell'arco.

La cupola: lo spicchio di meridiano

Una cupola in muratura non resta integra: le tensioni di trazione lungo i paralleli superano presto la debole resistenza a trazione della muratura, e la cupola si fessura lungo i meridiani dividendosi in spicchi. Persa la collaborazione degli anelli, una coppia di spicchi affacciati si comporta come un arco, e da qui nasce la spinta. E' il modello di Como, e coincide con quello che questo modulo sa già risolvere.

La differenza rispetto a un arco sta tutta nella larghezza. Lo spicchio è un cuneo: la sua larghezza vale la distanza dall'asse di rotazione, nulla allo zenit e massima all'imposta. Non si assegna, discende dalla geometria. Si adotta lo spicchio di un radiante, come nella trattazione di riferimento: pesi e spinte riportati si riferiscono percio' a quella fetta, non all'intera cupola.

Il modulo riproduce il riferimento di letteratura: con raggio 5,00 m calcola uno spessore minimo pari a t/R = 0,0448 contro lo 0,0452 di Como, con scarto inferiore all'1%. Il valore di Heyman, 0,042, è più basso di entrambi. Il caso è fra gli esempi di validazione.

Il metodo non è recente: la divisione della cupola in spicchi, con la struttura considerata sicura se in ciascuno si può tracciare una linea di spinta interna, risale a Poleni, che nel 1748 la applico' alla cupola di San Pietro in Vaticano corredandola di uno dei primi rilievi del quadro fessurativo. E' la prima applicazione documentata del modello che questo modulo adotta.

DA COMPLETARE, oltre alla capacità sismica: il modello assume la cupola già fessurata lungo i meridiani, che è la condizione definitiva e quella che genera la spinta, ma non calcola lo stato membranale iniziale né il livello di carico a cui la fessurazione si innesca. Quando lo si affrontera', il valore di controllo è noto: nella cupola emisferica sotto peso proprio le tensioni negli anelli passano da compressione a trazione a 51°50' dallo zenit. Non sono trattati inoltre lanterne, oculi, tamburi e cupole a doppia calotta.

Strutture adiacenti

Se sul lato destro o sinistro esiste un'altra volta o un altro arco contiguo, la sua spinta contrasta in parte quella di questa campata e il piedritto intermedio riceve meno di quanto la volta trasmette. Si dichiara la presenza con una spunta e si assegna la percentuale di spinta compensata.

A sinistra i carichi verticali: le spinte delle due campate si contrastano e al piedritto intermedio arriva la differenza. A destra l'azione sismica: le campate spingono nello stesso verso e le spinte si sommano. E' la ragione per cui la compensazione non si applica al meccanismo. Figura generata dal motore di calcolo.

Unita' di misura e parametri della muratura

Le grandezze della muratura si assegnano nelle unità della Tab. C8.5.I della Circolare 7/2019, che sono quelle abitualmente usate: resistenza a compressione fm in N/mm² e peso per unità di volume w in kN/m³. La conversione interna al calcolo è automatica.

I selettori "Tipologia di muratura" e "Livello di conoscenza" assegnano automaticamente fm, w e FC. Il criterio di scelta entro l'intervallo della tabella è quello del par. C8.5.4: con LC1 si adotta il valore minimo delle resistenze e FC = 1,35; con LC2 e LC3 il valore medio, con FC rispettivamente 1,20 e 1,00. Quando il peso è dato come intervallo si adotta il valore massimo. Tutti i campi restano modificabili a mano; accanto a fm vengono mostrati l'intera riga della tabella e le eventuali avvertenze.

I parametri della muratura sono definiti in un modulo condiviso (muratura.php) comune ai tool della suite che lavorano su muratura, così che tabella, criteri e coefficienti restino allineati fra tool diversi. Le sottocasistiche di LC3 legate al numero di prove disponibili non sono ancora distinte: il modulo tratta LC3 come valore medio con FC = 1,00.

Per le murature a conci sbozzati con paramenti di spessore disomogeneo il valore massimo di f riportato nel modulo è da verificare sulla copia della tabella in uso.

3. Carichi

Concorrono al calcolo il peso proprio della muratura (calcolato sull'area effettiva di ciascun concio), la colonna di riempimento sovrastante l'estradosso, i permanenti portati e il sovraccarico variabile. Permanenti portati e variabile sono riferiti alla proiezione orizzontale.

La quota del riempimento si misura dal piano d'imposta. Se risulta inferiore all'estradosso in chiave il riempimento è parziale e il modulo lo segnala.

4. Spinta orizzontale del rinfianco

Il materiale di riempimento addossato ai rinfianchi può esercitare una spinta orizzontale che contrasta l'apertura dell'arco e amplia sensibilmente il campo delle configurazioni equilibrate. Attivarla, pero', significa assumere che quel materiale sia:

• effettivamente presente e continuo, non degradato né dilavato;
• dotato di caratteristiche meccaniche note e stabili nel tempo;
• capace di reagire con la rigidezza necessaria in corrispondenza degli spostamenti che l'arco effettivamente subisce.

5. Modelli di sezione

Il modulo prevede due modelli, calcolabili anche in parallelo per confronto.

Con i corpi rigidi la curva delle pressioni può raggiungere il lembo della sezione; con il blocco tensionale deve restare entro una banda più stretta, perché la risultante non può addossarsi al bordo. La banda dipende dallo sforzo normale e varia lungo l'arco: nella figura è rappresentata costante per leggibilità. Figura generata dal motore di calcolo.

Corpi rigidi

Ipotesi di Heyman pura: la resistenza a compressione si assume tanto elevata da consentire alla curva delle pressioni di raggiungere il lembo della sezione. Le cerniere si formano sul contorno. E' il modello classico della letteratura sugli archi ed è quello da usare per confronti con valori noti.

Blocco tensionale

La resistenza a compressione è finita: la risultante deve mantenersi a una distanza dal lembo pari a metà della profondita' del blocco compresso,

a = N / (0,85 x f,d x b)

con f,d = fm / (FC x gamma,M). La sezione utile si riduce e le cerniere si formano al baricentro del blocco compresso anziche' sul contorno, quindi i moltiplicatori risultano inferiori.

La differenza fra i due valori è di per se' un'informazione progettuale: misura quanta parte del margine si perde per effetto della compressione localizzata alle cerniere. Su volte sottili poco caricate i due risultati quasi coincidono; su volte tozze e molto caricate divergono in modo significativo.

6. Risultati

Spinta minima e massima

Sono gli estremi del campo di spinte orizzontali compatibili con l'equilibrio. H,min corrisponde alla condizione di apertura dei piedritti, H,max a quella di avvicinamento. Sono i valori da usare per il progetto dei piedritti e degli eventuali presidi (catene, contrafforti).

Reazioni all'imposta

Il modulo riporta le azioni che il semiarco trasmette al piedritto, riferite alla larghezza della fascia analizzata:

• V - componente verticale, pari al peso del semiarco con tutto cio' che vi grava (muratura, riempimento, permanenti portati e variabile secondo la combinazione adottata). Non dipende dalla curva delle pressioni scelta.
• H - spinta orizzontale effettivamente trasmessa al piedritto. Coincide con la spinta in chiave quando la spinta del rinfianco è trascurata, ed è inferiore quando il rinfianco viene fatto reagire, perché una quota di spinta viene assorbita lungo l'estradosso. Essendo indeterminata entro il campo di equilibrio, viene data come intervallo fra il valore minimo e il massimo.
• R e la sua inclinazione sulla verticale - risultante delle due componenti. E' il dato che serve per controllare se la risultante ricade entro la sezione del piedritto e per la verifica di ribaltamento e scorrimento dell'appoggio.
• Eccentricita' sul giunto d'imposta - distanza del punto di applicazione dalla mezzeria della sezione, positiva verso l'estradosso.

Nel disegno le due componenti compaiono a entrambe le imposte, con il parallelogramma che le compone: V in blu verso il basso, H in rosso verso l'esterno, R in nero. Le lunghezze sono in scala fra loro ma non in scala con la geometria, quindi il triangolo delle forze è leggibile ma non misurabile sul disegno.

Verifica dei piedritti

La verifica dei piedritti si attiva con una spunta, indipendente dall'altezza: l'altezza si può assegnare anche solo per rappresentare il piedritto nello schema e dare scala al disegno. Un'altezza da sola non chiede la verifica, e chiederla senza altezza è un errore che il programma segnala.

Con la verifica attiva si controlla la sezione di base sotto le azioni trasmesse dalla volta, sommate al peso proprio del piedritto:

• ribaltamento attorno allo spigolo esterno della base;
• scorrimento sul piano di posa, con l'attrito assegnato;
• compressione con sezione parzializzata: la risultante deve restare a distanza dal lembo non inferiore a metà della profondita' del blocco compresso.

Sezione reagente del piedritto

La muratura non resiste a trazione, quindi al crescere dell'eccentricità una parte della sezione di base smette di lavorare. Accanto al coefficiente il modulo riporta il rapporto Ac/A fra sezione reagente e sezione totale, che rende immediato il grado di parzializzazione:

Al crescere dell'eccentricità la parte tesa si stacca e resiste la sola porzione compressa: la larghezza utile non è lo spessore, è s - 2e. E' il motivo per cui la resistenza si scrive N,Rd = 0,85 f,d b (s - 2e), e per cui a e = s/2 si annulla. Figura generata dal motore di calcolo.

Quando la sezione è parzializzata viene riportata anche la tensione massima al lembo compresso, confrontabile con f_d. Con risultante fuori sezione la tensione non è definita e non viene mostrata: il problema non è di resistenza ma di equilibrio, e l'indicazione utile è il coefficiente di ribaltamento.

I due indicatori a compressione, da non confondere

I due valori coincidono solo per eccentricità modeste; al crescere di e divergono, e oltre s/2 il primo si annulla mentre il secondo continua a decrescere con continuita'. L'esito della verifica si legge sul primo.

Ipotesi di simmetria

Il solutore lavora con tre incognite: spinta orizzontale, reazione verticale e punto di applicazione a una imposta. La reazione verticale non è determinata dalla sola statica: qualunque ripartizione del peso fra le due imposte che mantenga la curva delle pressioni entro il profilo è una configurazione equilibrata.

Quando geometria e carichi sono simmetrici la ripartizione è pero' nota per simmetria, e la casella Geometria e carichi simmetrici (attiva per impostazione predefinita) impone metà del peso per imposta. Va disattivata solo in presenza di carichi realmente asimmetrici.

Estremo di spinta adottato per i piedritti

Entro il campo di equilibrio la spinta realmente presente non è determinabile con l'analisi limite. Il modulo lascia la scelta:

Parete sovrastante e carichi in testa

Nella maggior parte dei casi reali la volta non poggia su un piedritto isolato ma su una parete che prosegue in alzato, fino al piano superiore e spesso oltre. Il peso di quella parete e i carichi che scendono dai piani superiori aumentano lo sforzo normale alla base e stabilizzano il piedritto rispetto al ribaltamento.

Trattarli come gravanti in tutte le verifiche sarebbe un errore non cautelativo: su un caso di prova con 40 kN in testa il coefficiente di ribaltamento passerebbe da 0,342 a 0,384, cioè un 12% di margine che non esiste.

Anche l'eccentricità dei carichi in testa si somma al disassamento della parete, perché quei carichi poggiano sulla parete superiore e non sul piedritto. Resta invece non trattato il meccanismo di flessione fuori piano che l'appoggio della volta può innescare sulla parete: appartiene all'analisi dei meccanismi locali.

Presidi che riducono la spinta sul piedritto

Sono tre meccanismi indipendenti, che possono coesistere. Nessuno di essi richiede di selezionare un'opzione a parte: agiscono per il solo fatto di avere un valore assegnato.

La somma degli assorbimenti non può superare la spinta. Quando almeno un presidio è attivo, il calcolo lo riporta esplicitamente fra gli avvisi con il valore della spinta prima e dopo la riduzione: la verifica del piedritto dipende dalla loro effettiva presenza ed efficacia, e in relazione va dichiarato.

Catena e capochiave

La presenza della catena si dichiara con una spunta, non si deduce da altri campi: il tiro può essere lasciato a zero per farlo calcolare, e il diametro può restare scritto in pagina anche dopo aver deciso di togliere la catena.

La catena è indipendente dal piedritto: può esistere anche senza, e la sua quota si assegna liberamente. La spunta "calcola la quota alle reni" la ricava dalla geometria e la ricalcola a ogni modifica di luce o monta, così cambiando l'arco la catena resta alle reni invece di restare ferma a un numero scritto una volta sola. Le reni sono assunte al punto dell'intradosso a 45 gradi dall'imposta: per l'arco a tutto sesto è esatto, per gli altri profili la quota vale 0,707 volte la monta ed è un'assunzione dichiarata.

Su un caso di prova - arco a tutto sesto di luce 5,00 m, spessore 0,40 m, riempimento a 2,60 m, tiro 15 kN - la spinta minima passava da 20,16 kN con la catena all'imposta a 11,35 kN con la catena alle reni. La quota più alta non è la migliore: portandola a 2,00 m la spinta minima risaliva a 12,99 kN, perché il braccio cresce ma ci si avvicina alla chiave, dove la spinta da equilibrare è minore.

La stessa volta con la catena nelle due posizioni: alle reni il tirante attraversa la muratura e i capochiave contrastano sull'estradosso.

Il tiro effettivamente trasmissibile è il minore fra quattro resistenze, perché la catena vale quanto il suo anello più debole: Il tiro effettivamente trasmissibile è il minore fra quattro resistenze, perché la catena vale quanto il suo anello più debole:

Nella maggior parte dei casi reali il meccanismo debole non è l'acciaio ma il punzonamento della muratura: è il motivo per cui i capochiave si fanno ampi. Con una catena di 20 mm, un capochiave 40x20 cm e una muratura con tau,0 = 0,05 N/mm2, la catena resiste a circa 70 kN ma l'ancoraggio ne trasmette poco più di 13.

La catena si assume agente alla quota d'imposta; a quota diversa il braccio sarebbe diverso e il caso non è ancora trattato. Non sono verificati il collegamento fra catena e capochiave, la stabilità della catena in compressione e la fondazione del piedritto.

Moltiplicatore Zeta,V

E' il moltiplicatore dei carichi verticali che porta la volta alla condizione limite. Sono previste tre modalita':

Coefficiente geometrico di sicurezza

Rapporto fra lo spessore reale e lo spessore minimo che rende ancora possibile l'equilibrio, a carichi invariati. Misura la robustezza della forma, indipendentemente dall'intensità dei carichi, ed è l'indicatore tradizionale dell'analisi limite degli archi. Un valore prossimo a 1 indica una volta che si regge solo grazie alla propria geometria, senza margine.

Riferimento di controllo: per un arco a tutto sesto soggetto al solo peso proprio, lo spessore minimo di equilibrio corrisponde a un rapporto fra spessore e raggio medio pari a 0,1075. Il modulo riproduce questo valore.

Scorrimento

Verifica a valle dell'ipotesi di scorrimento impedito, confrontando la componente tangente al giunto con l'attrito disponibile. Se non risulta soddisfatta, il meccanismo reale non è quello a sole cerniere e i moltiplicatori calcolati perdono validità: il modulo lo segnala esplicitamente.

Cinematismo di collasso e confronto fra le due vie

Il modulo cerca il meccanismo a quattro cerniere che rende minimo il moltiplicatore di collasso, e ne ricava le grandezze dell'oscillatore equivalente della Circolare 7/2019: alfa,0, la massa partecipante M*, la frazione e* e l'accelerazione di attivazione a,0*. Il meccanismo trovato viene disegnato insieme ai risultati, con i tre corpi ruotati, i conci che restano solidali alle imposte e le quattro cerniere marcate con il numero del giunto e il lembo su cui si formano.

Lo stesso moltiplicatore viene calcolato anche per via statica, come massimo valore per cui esiste ancora una curva delle pressioni ammissibile. Sono due teoremi distinti applicati allo stesso problema: il cinematico da' un limite superiore, lo statico un limite inferiore, e alla soluzione esatta devono coincidere.

Il meccanismo trovato per l'arco di riferimento: in colore i tre corpi ruotati, i cerchietti sono le cerniere.

Le cerniere estreme non sono obbligate alle imposte. Se l'arco è spesso in quella zona la curva delle pressioni non tocca il bordo, la cerniera si forma più avanti e i conci precedenti restano solidali all'imposta: nel disegno compaiono in grigio.

7. Lettura del disegno

Il disegno riporta intradosso, estradosso, i giunti e le curve delle pressioni corrispondenti alla spinta minima, alla spinta massima e a una condizione intermedia.

Va letto per quello che è: ogni curva interna al profilo dimostra l'equilibrio e quindi la sicurezza. La curva realmente presente nella struttura non è determinabile con l'analisi limite, perché dipende dalla storia di carico e soprattutto dai cedimenti dei piedritti. Curve che sfiorano il contorno indicano i punti dove si formerebbero le cerniere.

8. Limiti di questa versione

• Il solutore è predisposto per il carico asimmetrico, ma l'interfaccia non consente ancora di definire carichi variabili parziali: finche' non sarà disponibile, l'ipotesi di simmetria va lasciata attiva.
• Analisi cinematica non lineare (curva alfa in funzione dello spostamento) non ancora implementata: è disponibile la sola verifica in accelerazione, che è la più cautelativa delle due, mentre manca quella in spostamento della C8.7.1.2.
• La verifica dei piedritti considera la sola sezione di base: non sono trattati la fondazione, la portanza del terreno e i cedimenti.
• La percentuale di spinta compensata dalle strutture adiacenti è assegnata dall'utente e non calcolata: le campate contigue non sono modellate.
• La catena è modellata come forza concentrata sui due conci più vicini alla quota assegnata, quindi la posizione dipende dalla discretizzazione.
• Profilo policentrico ricondotto all'ellittico.
• Esportazione DXF non disponibile.

11. Inquadramento teorico e storico

La sicurezza di una struttura in muratura è una questione di geometria

E' il punto su cui converge tutta la letteratura sull'analisi limite delle murature. Per una data forma, il parametro che decide la stabilità è lo spessore in rapporto alla luce, non la resistenza del materiale: le tensioni in gioco sono di norma una piccola frazione di quelle di rottura, e quello che manda in crisi un arco è il formarsi di un meccanismo, non lo schiacciamento.

Ne discende una conseguenza che sorprende chi arriva dal cemento armato: la stabilità è indipendente dalla scala. Due archi geometricamente simili, uno di 4 m e uno di 40 m, hanno lo stesso coefficiente geometrico di sicurezza. Huerta ha discusso a fondo questo punto in Galileo was wrong: the geometrical design of masonry arches (2006): la legge quadrato-cubo di Galileo vale per i problemi di resistenza, non per quelli di stabilità.

E' il motivo per cui questo modulo mette il coefficiente geometrico di sicurezza fra i risultati principali, accanto ai coefficienti di verifica: è l'indicatore che descrive la sicurezza di una volta nel modo in cui la volta funziona davvero.

Come si dimensionavano archi e volte prima dell'analisi strutturale

Non si calcolavano: si proporzionavano. Lo spessore dell'arco e la profondita' dei contrafforti si ricavavano come frazione della luce, con regole specifiche per ciascun tipo strutturale. Le regole gotiche danno contrafforti prossimi a 1/4 della luce, quelle rinascimentali fra 1/3 e 1/2 - le volte gotiche sono molto più leggere, ma l'impostazione è la stessa.

La regola più diffusa è quella di Derand (L'architecture des voutes, 1643), ripresa da Blondel nel 1675 e risalente a Martínez de Aranda, intorno al 1590: si divide l'arco di testa in tre parti uguali e da li' si ricava geometricamente la larghezza del contrafforte. Il suo pregio è di dare contrafforti più grandi per archi più ribassati, cioè per spinte maggiori.

Due varianti riguardano da vicino le scelte di questo modulo. Hernández Ruiz el Joven (1560) introdusse nella regola lo spessore dell'arco e sottolineo' l'importanza stabilizzante del riempimento ai rinfianchi fino a metà dell'altezza dell'arco. E Valadier, criticando Derand perché ignorava spessore dell'arco e altezza del piedritto, per le crociere dimensiono' i contrafforti considerando le due botti elementari in modo indipendente.

Il ruolo del riempimento

Il riempimento non è solo un carico. Una volta compattato consente alla spinta di restare entro una geometria ridotta in prossimita' delle imposte, ed è questo che spiega la stabilità di volte molto sottili. Nella letteratura recente il fenomeno si rappresenta con un angolo d'imposta che esclude dalla verifica la porzione di arco prossima alle reni, ed è un parametro di questo modulo. L'effetto è grande: misurato su un arco a tutto sesto di 4,00 m con il solo peso proprio, lo spessore minimo passa dal 5,70% della luce con angolo nullo al 2,08% con 20 gradi e allo 0,55% con 40 gradi.

Il riempimento entra quindi nel calcolo in tre modi distinti: come carico verticale, come spinta orizzontale se dichiarata, e come confinamento attraverso l'angolo d'imposta. I tre effetti sono indipendenti e si attivano separatamente.

9. Riferimenti

Sono i lavori effettivamente usati nello sviluppo e nella validazione del modulo. I DOI e gli indirizzi riportati sono quelli letti direttamente nei documenti consultati: dove il collegamento manca, il riferimento è completo di autori, titolo, rivista, volume e pagine, che basta a reperirlo. Un DOI ricostruito a memoria porta altrove, ed è peggio di uno assente.

Le voci contrassegnate da [usato] sono quelle da cui provengono valori attesi degli esempi di validazione o scelte di modello. Le altre servono all'inquadramento.

Normativa

• NTC 2018, cap. 8 - Costruzioni esistenti; par. 10.2 - Validazione dei codici di calcolo.
• Circolare 21 gennaio 2019 n. 7, par. C8.7.1.6 - Meccanismi locali negli edifici in muratura.
• Direttiva P.C.M. 9 febbraio 2011 - Valutazione e riduzione del rischio sismico del patrimonio culturale.

Analisi limite delle murature

• [usato] J. Heyman, The stone skeleton, International Journal of Solids and Structures 2 (1966), pp. 249-279 - l'articolo che fonda l'applicazione dell'analisi limite alla muratura. 10.1016/0020-7683(66)90018-7
• [usato] J. Heyman, The Masonry Arch, Ellis Horwood, 1982 - spessore minimo dell'arco a tutto sesto, t/R = 0,1075.
• J. Heyman, The Stone Skeleton: Structural Engineering of Masonry Architecture, Cambridge University Press, 1995.
• [usato] J. Heyman, Equilibrium of shell structures, Oxford, 1977 - spessore minimo della cupola emisferica, t/R = 0,042.
• S. Huerta, Mechanics of masonry vaults: the equilibrium approach, Atti del 1st International Congress on Structural Analysis of Historical Constructions, Guimarães, 2001, pp. 47-70.
• [usato] M. Como, Statics of Historic Masonry Constructions, Springer, 2016 - cap. 5 per le cupole, con il modello dello spicchio di meridiano e lo spessore minimo t/R = 0,0452.

Geometria, stereotomia e regole storiche

• S. Huerta, Galileo was wrong: the geometrical design of masonry arches, Nexus Network Journal 8 (2006) n. 2, pp. 25-52 - la sicurezza della muratura è questione di geometria, e percio' indipendente dalla scala.
• S. Huerta, Arcos, bóvedas y cúpulas, Instituto Juan de Herrera, Madrid, 2004.
• F. Derand, L'architecture des voutes, 1643 - la regola dei terzi per il dimensionamento dei contrafforti.
• G. Poleni, Memorie istoriche della gran cupola del Tempio Vaticano, Padova, 1748 - prima applicazione documentata del modello a spicchi, quello che il modulo adotta per la cupola.
• J. Heyman, Poleni's problem, Proc. Instn Civ. Engrs, Part 1, 84 (1988), pp. 737-759.
• [usato] N. Makris, H. Alexakis, The effect of stereotomy on the shape of the thrust-line and the minimum thickness of semicircular masonry arches, Archive of Applied Mechanics 83 (2013), pp. 1511-1533 - lo spessore minimo dipende dai tagli: 0,1075 con tagli radiali, 0,1095 con tagli verticali. Il modulo usa giunti radiali.
• [usato] G. Lengyel, Minimum thickness of the gothic arch, Archive of Applied Mechanics 88 (2018) - ottimo dell'arco a sesto acuto, r/l0 = 0,94 con spessore minimo 3,7% della luce.
• A. Gaetani, G. Monti, P. B. Lourenço, G. Marcari, Design and Analysis of Cross Vaults Along History, International Journal of Architectural Heritage 10 (2016), pp. 841-856.

Archi sotto azione orizzontale

• [usato] H. Alexakis, N. Makris, Limit equilibrium analysis and the minimum thickness of circular masonry arches to withstand lateral inertial loading, Archive of Applied Mechanics 84 (2014), pp. 757-772 - coefficiente sismico in funzione di t/R e dell'angolo di abbraccio, con rotture radiali. 10.1007/s00419-014-0831-4
• [usato] H. Alexakis, N. Makris, Hinging mechanisms of masonry single-nave barrel vaults subjected to lateral and gravity loads, Journal of Structural Engineering ASCE 143 (2017) n. 4, 04017026 - conferma indipendente, ed estensione all'arco sui piedritti. 10.1061/(ASCE)ST.1943-541X.0001762
• H. Alexakis, N. Makris, Limit equilibrium analysis of masonry arches, Archive of Applied Mechanics 85 (2015), pp. 1363-1381.
• I. Oppenheim, The masonry arch as a four-link mechanism under base motion, Earthquake Engineering and Structural Dynamics 21 (1992), pp. 1005-1017.
• P. Clemente, Introduction to dynamics of stone arches, Earthquake Engineering and Structural Dynamics 27 (1998), pp. 513-522.
• L. De Lorenzis, M. DeJong, J. Ochsendorf, Failure of masonry arches under impulse base motion, Earthquake Engineering and Structural Dynamics 36 (2007), pp. 2119-2136.
• A. De Luca, A. Giordano, E. Mele, A simplified procedure for assessing the seismic capacity of masonry arches, Engineering Structures 26 (2004), pp. 1915-1929.

Cupole

• S. Coccia, M. Como, D. Di Carlo, Minimum thrust and minimum thickness of hemispherical masonry domes, Acta Mechanica 227 (2016), pp. 2415-2425.
• N. A. Nodargi, P. Bisegna, Collapse capacity of masonry domes under horizontal loads: a static limit analysis approach, International Journal of Mechanical Sciences 212 (2021) - riferimento da cui ripartire per la capacità sismica delle cupole, che il modulo oggi non calcola. arXiv:2106.12982, liberamente scaricabile
• M. C. Giangregorio, Limit Analysis for Masonry Vaults and Domes of Cultural Heritage, in Civil and Environmental Engineering for the Sustainable Development Goals, Springer, 2022, pp. 67-82 - da cui il valore di controllo di 51°50' per il cambio di segno delle tensioni negli anelli. 10.1007/978-3-030-99593-5_6, ad accesso aperto
• P. Block, Thrust Network Analysis: Exploring Three-dimensional Equilibrium, tesi di dottorato, MIT, 2009.

Gli esempi installati

L'elenco che segue è generato dai file effettivamente presenti nella cartella degli esempi di questa installazione, non trascritto a mano: se un esempio viene aggiunto, tolto o modificato, questa pagina lo riflette. Per ciascuno sono indicati la specie del riferimento e la fonte del valore atteso.

15 casi installati.