Note di calcolo

L'analisi limite non determina V0: qualunque ripartizione del peso che tenga la curva delle pressioni dentro il profilo è equilibrata. Il solutore a tre incognite, lasciato libero, si ferma quindi su un valore qualsiasi. Con carichi simmetrici si impone V0 = W,tot / 2. Effetto misurato: sul caso di default, con V0 libera la spinta risulta 6,87-21,11 kN invece di 31,75-39,00 kN, cioè una sottostima pericolosa per il progetto dei piedritti. Il flag va disattivato solo con carichi realmente asimmetrici, accettando che le reazioni alle due imposte possano risultare diverse.

Nessuno dei due è una legge costitutiva reale. Il modello di Heyman assume resistenza a compressione infinita e nessuna trazione; il blocco tensionale assume tensione uniforme su una profondità a = N / (0,85 f,d b). I due moltiplicatori si calcolano in parallelo e la loro differenza è essa stessa informazione progettuale: quanto pesa, su questa volta, la resistenza finita della muratura.

Si calcola il moltiplicatore alfa,0 nella sola configurazione iniziale, con i relativi M*, e* e a,0*. Manca l'analisi cinematica non lineare, quindi non sono disponibili né la curva alfa in funzione dello spostamento né lo spostamento ultimo d,u: la verifica in spostamento della C8.7.1.2 non può essere svolta. La verifica offerta è la sola verifica in accelerazione, che è la più cautelativa delle due.

Le cerniere estreme sono poste alle imposte e i lati sono alternati intradosso / estradosso. Le configurazioni con cerniere tutte dallo stesso lato sono escluse perché degenerano a moltiplicatore nullo. Il verso del cinematismo è libero: si accettano anche le configurazioni con somma di W per dx negativa, purché il rapporto Sy / Sx sia positivo. Le masse sono quelle della combinazione sismica G + psi,2 Q, non quelle SLU.

Il riempimento è considerato come solo carico. Il contrasto orizzontale che esso può offrire al ramo che tende a sollevarsi è disponibile come opzione ma resta disattivato per default. Trascurarlo è a favore di sicurezza: la capacità reale risulta maggiore di quella calcolata, tanto più quanto più il riempimento è alto e addensato.

Scegliendo il profilo policentrico il tool genera un ellittico equivalente e lo segnala con un avviso. Le differenze si scaricano sulla posizione dei giunti e quindi sul braccio delle forze. Per un profilo policentrico reale, finché la tipologia non è implementata, conviene inserire i punti nella tabella della geometria invece di usare il preset.

Il profilo è suddiviso in un numero finito di conci e la curva delle pressioni è controllata sui soli giunti. Riscontro: sul benchmark di Heyman (arco a tutto sesto, solo peso proprio) lo spessore minimo risulta t / R,medio = 0,1071-0,1074 contro lo 0,1075 classico, sia col solutore simmetrico sia col generale. Sul confronto statico / cinematico i due alfa,0 coincidono allo 0,02%, con il cinematico che converge dall'alto al crescere del numero di conci.

Con un angolo d'imposta maggiore di zero, i giunti sotto la quota corrispondente NON entrano nel controllo che la curva delle pressioni resti dentro la sezione: si assume che il rinfianco compattato confini l'arco. I carichi restano tutti; cambia solo dove si pretende l'ammissibilità. E' un'ipotesi favorevole, e il suo peso è grande: su un arco a tutto sesto di 4,00 m con il solo peso proprio lo spessore minimo passa dal 5,70% della luce con angolo nullo al 2,08% con 20 gradi e allo 0,55% con 40. E' anche la ragione per cui volte in mattoni di una testa stanno in piedi da secoli, mentre il modello tradizionale le dichiarerebbe inammissibili. Il valore iniziale è zero, quindi l'ipotesi va richiesta e non subita, e quando è attiva compare un avviso che la dichiara. CONVENZIONE GEOMETRICA, risolta per i profili circolari. L'angolo si misura dall'imposta lungo il profilo e la quota di taglio si ricava dalla geometria esatta: per tutto sesto e sesto acuto, dove il centro sta sul piano d'imposta, vale R sin(beta); per il ribassato, con il centro sotto l'imposta, si passa per l'angolo della chiave. Il sesto acuto ha un raggio proprio, ricavato imponendo che l'arco passi per imposta e chiave: non è quello del segmento circolare, che il modulo usava anche per lui. La convenzione precedente, z = f sin(beta), era esatta per il solo tutto sesto: su un ribassato di luce 4,00 e monta 1,20 sbagliava del 33,8% e sul sesto acuto del 3,3%, in entrambi i casi per difetto, cioè escludendo dalla verifica meno arco del dovuto. L'errore era dalla parte cautelativa, ma era un errore. Su ellisse e catenaria il parametro NON è applicabile e il calcolo si rifiuta con un errore esplicito: quei profili non hanno un raggio, e il confinamento del rinfianco è misurato in letteratura sui soli archi circolari. RISCHIO INTRODOTTO DAL TOOL, da tenere presente: chi ha una volta ellittica con rinfianchi costipati veri, e vede che dichiarandola circolare ottiene un parametro che dimezza lo spessore minimo, ha una ragione concreta per falsare il profilo. Il messaggio d'errore lo dice esplicitamente, ma un incentivo che il programma stesso costruisce non si neutralizza con un avviso. SVILUPPO FUTURO: estendere il parametro ai profili non circolari definendo beta come la ROTAZIONE DELLA TANGENTE all'intradosso rispetto al suo valore all'imposta. Per un cerchio coincide con la posizione angolare, quindi riproduce la convenzione attuale senza scostamenti, e varrebbe anche per il policentrico quando sarà implementato. La stessa macchina - la tangente ricavata dalla corda di ciascun concio - risolverebbe anche il raggio equivalente esposto nel rapporto t/R, che per ellisse e catenaria resta una convenzione e non una misura. Il limite noto: il giunto di taglio verrebbe scelto con un'incertezza di mezzo concio.

Trovare una curva delle pressioni interna al profilo e in equilibrio con i carichi dimostra che la struttura è sicura. Non trovarla non dimostra il collasso: dimostra soltanto che quel particolare stato di equilibrio, dentro le ipotesi assunte, non esiste. La distinzione non è accademica: il modulo esplora un percorso di carico nel piano dell'arco, e una struttura che lavora anche fuori da quel piano dispone di percorsi che il modello non vede. Una volta in piedi da trecento anni ha già fornito la propria dimostrazione di sicurezza. Il messaggio del programma è formulato di conseguenza e rimanda alla guida, dove le quattro cause possibili sono elencate in ordine di probabilità. In relazione si può scrivere che la volta non risulta verificata; non che collasserà.

Il modulo taglia i conci con giunti RADIALI, ortogonali alla linea d'asse. Non è una scelta indifferente: lo spessore minimo di un arco a tutto sesto sotto il solo peso proprio vale t/R = 0,1075 con tagli radiali e 0,1095 con tagli verticali, e sono entrambi corretti - dipendono da come si assume che l'arco possa fratturarsi. Lo scarto è del 2%. Il valore classico di Milanković e di Heyman, 0,1075, è quello dei tagli radiali, quindi l'esempio di validazione confronta grandezze omogenee. Riferimento: Makris e Alexakis, Archive of Applied Mechanics 83 (2013), pp. 1511-1533. DA VERIFICARE: per una muratura con apparecchiatura nota - conci squadrati, mattoni in foglio - la stereotomia reale può discostarsi da quella radiale, e con essa il valore di riferimento.

La superficie resistente al punzonamento è assunta pari al perimetro medio del capochiave per lo spessore del muro, con f,vd = tau,0 / (FC gamma,M). La forma della superficie è una schematizzazione: resta da verificare rispetto a un tronco di piramide a 45 gradi. Peso della cosa: nella pratica il punzonamento è quasi sempre il meccanismo debole. Con catena da 20 mm, capochiave 40x20 cm e tau,0 = 0,05 N/mm2 l'acciaio porta circa 70 kN e l'ancoraggio circa 13 kN.

La verifica di compressione locale usa l'area di contatto per f,d, senza l'incremento ammesso per i carichi concentrati su area ridotta. Scelta a favore di sicurezza, coerente con l'incertezza sulla qualità della muratura dietro il capochiave.

Il tiro della catena entra nell'equilibrio del piedritto applicato alla quota d'imposta. Se la catena reale è posta più in alto o più in basso, il braccio rispetto alla sezione di base cambia e con esso il contributo stabilizzante al ribaltamento. Serve un campo per la quota della catena.

Lo spessore della parete cambia solo oltre il piano, perché un eventuale cambio avviene in corrispondenza del solaio; i due tratti sono però assunti centrati sullo stesso asse. Il disassamento della parete rispetto al piedritto è invece trattato, con filo esterno per default. Effetto misurato di quest'ultimo: su un caso con piedritto da 60 cm e parete da 30 cm, il coefficiente di sicurezza al ribaltamento passa da 0,767 (parete centrata) a 0,744 (filo esterno), perché il peso della parete alta diventa in parte destabilizzante.

L'altezza dall'imposta al piano non si digita: è assunta pari alla quota del riempimento, che è il piano di calpestio sopra la volta. Si inserisce solo l'eventuale altezza aggiuntiva oltre il piano. Se il piano di calpestio reale non coincide con l'estradosso del riempimento, il dato va corretto agendo sulla quota del riempimento.

La verifica del piedritto si ferma alla sezione di base: ribaltamento attorno allo spigolo esterno, scorrimento sul piano di posa, compressione con sezione parzializzata. Non sono trattati il plinto o la fondazione continua, la portanza del terreno, i cedimenti e lo scorrimento fondazione / terreno.

L'appoggio della volta su una parete che prosegue in altezza innesca un meccanismo rigido di flessione fuori piano della parete stessa. Il tool non lo tratta: la parete entra solo come peso e come sezione da verificare alla base. Il meccanismo va collegato al futuro tool sui meccanismi locali.

Quando si dichiara la presenza di una volta o di un arco contiguo, la spinta che arriva al piedritto viene ridotta della percentuale indicata. Quella percentuale non è calcolata: le campate adiacenti non sono modellate, e stimarla spetta a chi compila, in base a luci, spessori e carichi. La verifica dei piedritti dipende quindi da un dato assunto. La compensazione sarebbe pressoché completa con campate uguali e caricate allo stesso modo; a romperla è il sovraccarico variabile presente su una sola campata, che è anche la condizione che di solito dimensiona il piedritto intermedio: su un caso di prova lo sbilanciamento valeva circa il 10% della spinta. Per questo il valore iniziale è 80% e non 100%. Non si applica alla verifica sismica del meccanismo, dove tutte le campate spingono nello stesso verso e non si contrastano: l'ipotesi vale per la sola verifica statica dei piedritti.

L'analisi cinematica cerca il meccanismo a quattro cerniere DENTRO L'ARCO, con le cerniere estreme alle imposte. I piedritti non entrano nel cinematismo: sono verificati a parte, in condizioni statiche, sotto la spinta che l'arco trasmette. La letteratura distingue invece tre famiglie di meccanismi per un arco su contrafforti: quello del SOLO ARCO, che il modulo calcola; quello SEMIGLOBALE, con una cerniera alla base del contrafforte sotto vento; e quello GLOBALE, in cui entrambi i contrafforti si sollevano. Quale si attivi dipende dalla snellezza relativa fra arco e contrafforti: con arco sottile e contrafforti tozzi governa il primo, altrimenti gli altri, che si attivano a un moltiplicatore PIU' BASSO. DIREZIONE DELL'APPROSSIMAZIONE: non cautelativa. Dove il meccanismo reale coinvolge i contrafforti, il modulo calcola un moltiplicatore maggiore di quello vero. Su un arco di 0,46 m su piedritti alti 0,55 m e larghi 0,13 m, il valore misurato in laboratorio e' 11,63% con il meccanismo globale (Calderini e Lagomarsino, ripreso da Brandonisio, Mele, De Luca, Meccanica 2017). STATO DEL LAVORO: il meccanismo SEMIGLOBALE e' implementato in sisma/cinematismo.php come CinematismoSemiglobale() ed e' VALIDATO sulle tabelle di Alexakis e Makris 2017 per rottura orizzontale alla base del contrafforte, b/R = 0,5: sui profili a tutto sesto riproduce i valori alla quarta cifra (0,23483 contro 0,23493; 0,11470 contro 0,11472; 0,10842 contro 0,10842), sui ribassati entro il 6% e sempre per difetto. Due difetti trovati e corretti durante la validazione: senza il controllo di ammissibilità alla base il minimo cadeva su meccanismi degeneri in cui il piedritto affondava; e il contrafforte va collocato FUORI dall'imposta e non centrato su di essa, differenza che da sola valeva dal 22 al 48%. NON E' ANCORA COLLEGATO al calcolo. Sulla geometria del modulo, con riempimento e sovraccarichi, restituisce un moltiplicatore degenere dell'ordine di 1e-5: trova un meccanismo geometricamente possibile in cui il lavoro della gravità quasi si annulla. Sul caso di riferimento, a solo peso proprio, non accade: la differenza sono i carichi portati. Collegarlo così farebbe fallire la verifica sismica a chiunque abbia i piedritti, che è peggio del difetto che dovrebbe correggere. DA COMPLETARE: capire la degenerazione con i carichi portati, poi calcolare entrambi i meccanismi e tenere il minore. Resta poi il meccanismo GLOBALE, con entrambi i piedritti che si sollevano, il cui banco di prova è la prova di laboratorio di Calderini e Lagomarsino.

Il moltiplicatore orizzontale di collasso dell'arco e' confrontato con tre fonti indipendenti, su geometrie diverse. Alexakis e Makris (2014), arco a tutto sesto adimensionale: accordo entro mezzo punto percentuale fino a eps = 0,3, e le quattro cerniere entro mezzo concio. E' l'esempio di validazione congelato. Como, arco a tutto sesto di luce 15,00 m, raggio d'intradosso 7,50 m, spessore 1,20 m, peso 16 kN/m3: il modulo da' 13,81-14,32% secondo la discretizzazione, contro 14,17% di Como e 14,50% della programmazione non lineare di Brandonisio. Le cerniere calcolate, 24,8 - 82,1 - 139,5 - 180 gradi, coincidono con quelle di Como, 25 - 79 - 141 - 180, entro tre gradi. DeJong, prova SPERIMENTALE su tavola vibrante, arco ribassato di luce 0,36 m e abbraccio 153 gradi, spessore 0,03 m: il modulo da' 39,6-39,9% contro il 41% misurato e il 40,9% calcolato. Tre geometrie molto diverse - adimensionale, arco monumentale da 15 m, modello di laboratorio - e tre metodi diversi, fra cui una misura. DA COMPLETARE: congelare anche i casi di Como e DeJong come esempi di validazione. Oggi sono prove eseguite e riportate qui, non ricalcolate dalla pagina di validazione.

I livelli di conoscenza sono trattati con FC pari a 1,35 / 1,20 / 1,00 per LC1 / LC2 / LC3 e con criterio min o medio sui valori di tabella. LC3 non è articolato nelle sottocasistiche della C8.5.4, che distinguono il caso di indagini estese da quello di prove esaustive con valori sperimentali propri. Chi disponga di prove dirette deve inserire i parametri a mano invece di affidarsi alla tabella.

I sei coefficienti sono moltiplicati fra loro e il prodotto viene troncato al massimo complessivo previsto dalla tabella. Il caso della muratura in mattoni con malta di buone caratteristiche segue la formula f,m elevato a 0,35 quando f,m supera 2 N/mm2. La tabella è esportata al client da MuraturaJavascript() per non averne due copie disallineate.

Le masse che partecipano al meccanismo sono quelle della combinazione sismica G + psi,2 Q. Il valore di default 0,30 corrisponde alla categoria d'uso più comune nel residenziale: va cambiato per magazzini, archivi, affollamenti e coperture innevate.

I carichi in testa al piedritto (G1, G2, Qk, neve) sono stabilizzanti per ribaltamento e scorrimento e gravanti per la compressione. Entrano quindi con gamma,G,inf = 0,90 e senza variabili nelle prime due verifiche, e con gamma,G e gamma,Q nella terza. Effetto misurato: trattarli come gravanti anche nel ribaltamento regalerebbe circa il 12% di margine inesistente, su un caso con 40 kN in testa.

Il coefficiente resta N,Rd / N con N,Rd = 0,85 f,d b (sp - 2e), e vale zero quando la risultante cade fuori dalla sezione. Lo zero è un risultato corretto, non un errore di calcolo: per renderlo leggibile accanto ad esso si riportano la lunghezza reagente, il rapporto A,c / A, la tensione massima al lembo e l'eccentricità. Il rapporto fra eccentricità ammissibile ed eccentricità effettiva è esposto come indicatore separato e diversamente etichettato, mai al posto del coefficiente.

L'analisi limite fornisce un intervallo di spinte ammissibili, non la spinta reale. Per default si adotta la massima, scelta cautelativa per il piedritto. La minima è selezionabile ma accompagnata da un avviso, perché va motivata; l'opzione 'entrambe' fa governare il caso peggiore e indica quale.

V,r = V,n C,u con minimo 35 anni, T,R = - V,r / ln(1 - P,vr). Il periodo T,1 è stimato con 0,05 H elevato a 0,75 salvo assegnazione manuale: è una formula per edifici, usata qui per collocare il meccanismo in quota, e va sostituita con il periodo reale quando lo si conosce. Il T,R di capacità è ricavato per bisezione logaritmica.

Il tetto esiste per non lasciare la pagina appesa su casi patologici. Se viene raggiunto, la ricerca si interrompe e il risultato va considerato non convergente. Il numero di valutazioni effettivamente eseguite e il tempo di calcolo sono stampati in relazione: vanno letti, non ignorati. Riferimento di normalità: circa 7.300 valutazioni al secondo sul server, con un calcolo completo intorno ai 2,8 s.

La larghezza analizzata è quella reale dell'arco e la parete sopra l'imposta non viene assunta: se sopra l'arco c'è muratura che prosegue, va inserita esplicitamente.

Si analizza una fascia di 1,00 m di larghezza e la parete si estende automaticamente fino al piano. Si assume comportamento cilindrico: nessun effetto di bordo, nessuna collaborazione trasversale fra fasce contigue, nessuna presenza di unghie o lunette.

Oltre il limite di rappresentazione, pari al maggiore fra 2,00 m e metà dell'altezza fino al piano, la parete è disegnata interrotta con il segno a doppia diagonale. La quota resta spezzata ma indica l'altezza reale: il disegno è in scala solo fino all'interruzione. Riguarda la lettura del disegno, non il calcolo.

La cupola si verifica come SPICCHIO DI MERIDIANO. Il modello assume la cupola già fessurata lungo i meridiani: le trazioni negli anelli superano presto la debole resistenza a trazione della muratura, la cupola si divide in spicchi e una coppia di spicchi affacciati si comporta come un arco. E' la condizione definitiva, quella che genera la spinta, ed è il modello adottato da Como. La larghezza dello spicchio non si assegna: vale la distanza dall'asse di rotazione, nulla allo zenit e massima all'imposta. Si adotta lo spicchio di UN RADIANTE, e pesi e spinte riportati si riferiscono a quella fetta e non all'intera cupola: chi li usa per dimensionare il tamburo deve moltiplicare. VERIFICATO contro la letteratura: con raggio 5,00 m il modulo calcola uno spessore minimo t/R = 0,0448 contro lo 0,0452 di Como, scarto inferiore all'1%. Heyman (1977) dà 0,042. Lo stesso profilo trattato a fascia costante darebbe 0,114: la larghezza variabile è cio' che rende la cupola più efficiente dell'arco, e l'esempio di validazione collauda quel ramo. VERIFICA SISMICA NON DISPONIBILE, e disattivata d'ufficio se richiesta. L'analisi cinematica piana applicata a uno spicchio assumerebbe che tutti gli spicchi si comportino come quello allineato con l'azione. Sotto sisma la cupola perde la simmetria assiale: gli spicchi trasversali sono caricati fuori dal proprio piano e gli anelli, che nel modello statico si assumono fessurati e inattivi, rientrano in gioco su un lato. Il calcolo darebbe comunque un numero plausibile - su raggio 5,00 m e spessore 0,40 m, alfa,0 = 0,0890 e a,0* = 0,0925 g - e un valore non validato in una relazione firmata è peggio di un valore assente. Riferimento da cui ripartire: Nodargi e Bisegna, Collapse capacity of masonry domes under horizontal loads, Int. J. Mech. Sci. 212 (2021). DA COMPLETARE: non si calcola lo stato membranale iniziale né il livello di carico che innesca la fessurazione. Il valore di controllo per quando lo si affrontera' e' noto: nella cupola emisferica sotto peso proprio le tensioni negli anelli passano da compressione a trazione a 51°50' dallo zenit. Non sono trattati lanterne, oculi, tamburi e cupole a doppia calotta.